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什么叫做燕尾定理

作者:Anita 发布时间: 2021-12-22 22:30:12

简介:】燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O)。
 
  
S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BD

燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上点,满足AD、BE、CF 交于同一点O)。

 

  

S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;

同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;

S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE。

 

 

证法1

  

下面的是第一种方法:利用分比性质(若a/b=c/d,则(a-b)/b=(c-d)/d,[1]b≠0,d≠0,)[2]

(注:∵(a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,

(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,

a/b=c/d

∴(a-b)/b=(c-d)/d

∵△ABD与△ACD同高

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD

利用分比性质,得

S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD

即S△AOB:S△AOC=BD:CD

命题得证。

证法2

下面的是第二种方法:相似三角形法

 

  证法1图

已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

求证:AE=CE 证明:

如图,过点O作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N;

过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD

∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD

∴MO:BD=NO:CD

∵AD是△ABC的一条中线

∴BD=CD

∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF

∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF

∴PO:BF=QO:AF

∵CF是△ABC的一条中线

∴AF=BF

∴PO=QO

∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO

∴△MOP≌△NOQ(SAS)

∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)

∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE

∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE

∴MR:AE=PR:CE

∵MN∥BC,PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行四边形

∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)

∴AE=CE

命题得证。

证法3

下面的是第三种方法:面积法

已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

求证:AE=CE

证明:

如图,

∵点D是BC的中点,点F是AB的中点

∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD

∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD

即S△AOC(绿) = S△AOB(红)

∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF

∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF

即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝)

∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝)

∵S△AOE:S△AOB(红) = OE:OB,S△COE:S△BOC(蓝) = OE:OB

∴S△AOE:S△AOB(红) = S△COE:S△BOC(蓝)

∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝)

∴S△AOE = S△COE

∴AE=CE

命题得证。

证法4

下面的是第四种方法:中位线法

已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。

求证:AE=CE

证明:

如图,延长OE到点G,使OG=OB。

∵OG=OB

∴点O是BG的中点

又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线

∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)

∵点O是BG的中点,点F是AB的中点

∴OF是△BGA的一条中位线

∴CF∥AG

∵AD∥CG,CF∥AG

∴四边形AOCG是平行四边形

∴AC、OG互相平分

∴AE=CE

命题得证。

证法5:因为ABCO是凹四边形,根据共边比例定理,命题得证

 

 

推广:共边比例定理

四边形ABCD(不一定是凸四边形),设AC,BD相交于E

  

则有BE :DE=S△ABC :S△ADC

此定理是面积法最重要的定理

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